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Por la ley de exponentes: a²÷a²=a^(2−2)=a⁰. Pero también a²÷a²=1. Por lo tanto a⁰=1. Es una consecuencia de las reglas de los exponentes.
2³=8 y 3²=9. Son completamente diferentes. La base y el exponente no son intercambiables.
Forma de escribir números muy grandes o muy pequeños usando potencias de 10. 3,000,000=3×10⁶. 0.0042=4.2×10⁻³. Muy útil en ciencia.
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida del mismo número. Por ejemplo, 2⁵ significa multiplicar 2 por sí mismo 5 veces: 2×2×2×2×2 = 32. Se compone de dos partes: la base (el número que se multiplica) y el exponente (cuántas veces se multiplica).
Base: 2 | Exponente: 5 | Se lee: "2 a la quinta potencia" o "2 elevado a la 5"
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Ejemplo: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 | 5² × 5³ = 5⁵ = 3,125
¿Por qué? 2³ × 2⁴ = (2×2×2) × (2×2×2×2) = 2 multiplicado 7 veces = 2⁷
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Ejemplo: 3⁶ ÷ 3² = 3⁴ = 81 | 10⁵ ÷ 10³ = 10² = 100
(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Ejemplo: (2³)⁴ = 2¹² = 4,096 | (5²)³ = 5⁶ = 15,625
a⁰ = 1 (para cualquier a ≠ 0)
7⁰ = 1 | 100⁰ = 1 | (−5)⁰ = 1 | 0.001⁰ = 1
¿Por qué? Porque aⁿ ÷ aⁿ = a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0.125 | 10⁻² = 1/100 = 0.01 | 5⁻¹ = 1/5 = 0.2
2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1,024
10¹=10, 10²=100, 10³=1,000, 10⁴=10,000, 10⁵=100,000. Cada potencia agrega un cero.
Par → positivo: (−2)⁴=+16. Impar → negativo: (−2)³=−8. ¡Ojo con los paréntesis!
Las potencias están en todas partes: el área de un cuadrado de lado 5m es 5² = 25m². El volumen de un cubo de arista 3cm es 3³ = 27cm³. La memoria de tu celular se mide en potencias de 2 (GB = 2³⁰ bytes). La notación científica (6.4×10⁶ km = diámetro del Sol) usa potencias de 10. Los intereses compuestos del banco crecen como potencias.
Es la trampa más frecuente: −3² = −(3²) = −9 porque el exponente solo afecta al 3. Pero (−3)² = (−3)×(−3) = +9 porque el exponente afecta a todo lo que está dentro del paréntesis, incluyendo el signo negativo.
Las potencias son fundamentales en matemáticas avanzadas: se usan en notación científica para escribir números muy grandes o muy pequeños (6.023×10²³ moléculas en un mol), en el cálculo de áreas y volúmenes (el área de un cuadrado de lado a es a²), en el crecimiento exponencial de poblaciones e intereses bancarios, y en toda la computación moderna donde los datos se miden en bytes, kilobytes (2¹⁰), megabytes (2²⁰) y gigabytes (2³⁰). Memorizar las primeras potencias de 2, 3, 4, 5 y 10 te ahorrará mucho tiempo en exámenes.
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