Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas Resueltos — Fórmula General + 12 Ejemplos

⚡ RESPUESTA RÁPIDA

Fórmula general: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a para ax²+bx+c=0. Discriminante: Δ=b²−4ac. Si Δ>0: 2 soluciones reales. Si Δ=0: 1 solución. Si Δ<0: sin soluciones reales.

¿Qué es una Ecuación Cuadrática?

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es toda ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. El término "cuadrática" viene del latín quadratus (cuadrado), porque el máximo exponente de la variable es 2.

Las ecuaciones cuadráticas aparecen en física (tiro parabólico), ingeniería, economía y geometría. Dominarlas es esencial para cualquier estudiante de secundaria y preparatoria.

La Fórmula General — Explicada Paso a Paso

Para cualquier ecuación ax²+bx+c=0, la solución es:

📐 FÓRMULA GENERAL (Bhaskara)

x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

Cómo aplicarla en 4 pasos:

Paso 1: Identifica a, b y cReescribe la ecuación en forma estándar ax²+bx+c=0. El coeficiente de x² es a, el de x es b, y el término independiente es c.

Paso 2: Calcula el discriminante Δ = b²−4acEl discriminante te dice cuántas soluciones hay antes de calcularlas. Si Δ > 0: dos soluciones. Si Δ = 0: una sola. Si Δ < 0: no hay soluciones reales.

Paso 3: Sustituye en la fórmulaCalcula primero con el signo + para obtener x₁, y luego con el signo − para obtener x₂.

Paso 4: Verifica las solucionesSustituye x₁ y x₂ en la ecuación original. El resultado debe ser 0 en ambos casos.

El Discriminante — La Clave Antes de Resolver

Discriminante Δ = b²−4ac	Tipo de solución	Ejemplo
Δ > 0	2 soluciones reales distintas	x²−5x+6=0 → x=2 y x=3
Δ = 0	1 solución real (raíz doble)	x²−4x+4=0 → x=2
Δ < 0	Sin soluciones reales (complejas)	x²+x+1=0 → no hay

20 Ejercicios Resueltos Paso a Paso

x² + 5x + 6 = 0 a=1, b=5, c=6. Δ=25−24=1. x=(−5±1)/2. x₁=−2, x₂=−3. Verifica: (−2)²+5(−2)+6=4−10+6=0 ✓

x² − 7x + 12 = 0 a=1, b=−7, c=12. Δ=49−48=1. x=(7±1)/2. x₁=4, x₂=3. Verifica: 4²−7(4)+12=0 ✓

2x² − 4x − 6 = 0 a=2, b=−4, c=−6. Δ=16+48=64. √64=8. x=(4±8)/4. x₁=3, x₂=−1.

x² − 9 = 0 Es diferencia de cuadrados: (x−3)(x+3)=0. O con fórmula: a=1, b=0, c=−9. Δ=36. x=(0±6)/2. x₁=3, x₂=−3.

x² + 6x + 9 = 0 Δ=36−36=0. Raíz doble: x=(−6)/2=−3. Es un trinomio cuadrado perfecto: (x+3)²=0.

3x² + 5x − 2 = 0 a=3, b=5, c=−2. Δ=25+24=49. x=(−5±7)/6. x₁=2/6=1/3, x₂=−12/6=−2.

x² + x − 12 = 0 Δ=1+48=49. x=(−1±7)/2. x₁=3, x₂=−4. Factorizando: busca dos números que sumen 1 y multipliquen −12 → 4 y −3: (x+4)(x−3)=0 ✓

4x² − 1 = 0 Diferencia de cuadrados: (2x−1)(2x+1)=0. O: x²=1/4. x₁=1/2, x₂=−1/2.

x² − 2x − 15 = 0 Δ=4+60=64. x=(2±8)/2. x₁=5, x₂=−3. Factorizando: (x−5)(x+3)=0 ✓

2x² + 7x + 3 = 0 a=2, b=7, c=3. Δ=49−24=25. x=(−7±5)/4. x₁=−1/2, x₂=−3.

x² + 4x = 0 c=0. Factor común: x(x+4)=0. x₁=0, x₂=−4. Cuando c=0 siempre hay una raíz en x=0.

5x² − 20 = 0 Divide entre 5: x²−4=0. x²=4. x₁=2, x₂=−2. Siempre simplifica antes de aplicar la fórmula.

Método 2 — Factorización (más rápido para coeficientes simples)

Si la ecuación es x²+bx+c=0 (a=1), busca dos números r y s tal que r·s=c y r+s=b. Entonces (x+r)(x+s)=0, y las soluciones son x=−r y x=−s.

Ejemplo: x²−8x+15=0Busca r y s: r·s=15, r+s=−8. Candidatos: −3 y −5 (−3·−5=15, −3+(−5)=−8 ✓). Factoriza: (x−3)(x−5)=0. x=3 o x=5.

Ejemplo: x²+2x−35=0r·s=−35, r+s=2. Candidatos: 7 y −5 (7·−5=−35, 7+(−5)=2 ✓). (x+7)(x−5)=0. x=−7 o x=5.

Método 3 — Completar el Cuadrado

Para x²+bx+c=0: mueve c al otro lado, suma (b/2)² a ambos lados, y factoriza el cuadrado perfecto.

Ejemplo: x²+6x+5=0x²+6x=−5. Suma (6/2)²=9: x²+6x+9=4. (x+3)²=4. x+3=±2. x₁=−1, x₂=−5.

Errores Más Comunes — Evítalos

❌ Error 1: Olvidar el ± en la fórmula

La ecuación tiene DOS soluciones. Muchos estudiantes solo calculan una y pierden puntos. Siempre calcula x con + y luego con −.

❌ Error 2: No pasar todos los términos al mismo lado

Si la ecuación es x²=5x−6, PRIMERO reescríbela como x²−5x+6=0 antes de identificar a, b, c.

❌ Error 3: Error de signo con b negativo

Si b=−5, en la fórmula −b=−(−5)=+5. Muchos olvidan cambiar el signo. Escribe −b explícitamente.

✅ Truco: Verifica SIEMPRE

Sustituye cada solución en la ecuación original. Si no obtienes 0, hay un error en el cálculo.

Aplicaciones Reales de las Ecuaciones Cuadráticas

Física — Tiro libre: Si lanzas un objeto hacia arriba con velocidad v₀=20m/s desde h₀=5m, su altura es h=−5t²+20t+5. Para saber cuándo llega al piso: −5t²+20t+5=0.
Geometría — Área: Un rectángulo tiene área 40cm² y el largo es 3cm más que el ancho. Si ancho=x, entonces x(x+3)=40 → x²+3x−40=0.
Economía — Punto de equilibrio: Si la ganancia es G=−2p²+120p−1000, ¿a qué precio p hay ganancia cero? Resuelve −2p²+120p−1000=0.
Ingeniería — Diseño: El área de un marco decorativo depende cuadráticamente del grosor. Las ecuaciones cuadráticas permiten optimizar materiales.

Preguntas Frecuentes (FAQ)

¿Cuándo uso factorización y cuándo la fórmula general?

Usa factorización cuando los coeficientes son enteros pequeños y la ecuación factoriza fácilmente. Usa la fórmula general siempre que factorizar sea difícil o cuando los coeficientes son decimales o fracciones.

¿Qué significa que el discriminante sea negativo?

Significa que la parábola no cruza el eje x. No existen soluciones reales, pero sí soluciones complejas (con la unidad imaginaria i). En secundaria generalmente se dice "no tiene solución".

¿Puede una ecuación cuadrática tener más de 2 soluciones?

No. El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que una ecuación de grado n tiene exactamente n soluciones (contando multiplicidad y números complejos). Una cuadrática siempre tiene exactamente 2.

¿Cómo reconozco si una ecuación es cuadrática o no?

El mayor exponente de la variable debe ser exactamente 2, y el coeficiente de x² debe ser distinto de cero. x³+x²=0 no es cuadrática (es cúbica). 3x+5=0 no es cuadrática (es lineal).

¿Qué es una raíz doble?

Cuando Δ=0, las dos soluciones coinciden. Por ejemplo, x²−6x+9=0 tiene raíz doble x=3. La parábola toca el eje x en exactamente un punto (tangente).