Ejercicios de Factorización Resueltos — 15 Ejemplos Paso a Paso

⚡ RESPUESTA RÁPIDA

Factorizar es reescribir una expresión como producto de factores más simples. Métodos: factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, cuadrado perfecto. Siempre verifica multiplicando los factores.

¿Qué es la Factorización?

Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como el producto de dos o más factores. Es la operación inversa a la multiplicación: si a·b=c, entonces factorizar c da a×b.

Por ejemplo: x²+5x+6 = (x+2)(x+3). Puedes verificarlo multiplicando (x+2)(x+3) = x²+3x+2x+6 = x²+5x+6 ✓

La factorización es fundamental para simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones cuadráticas y calcular límites en cálculo.

Los 5 Métodos de Factorización

Método	Cuándo usarlo	Forma
Factor común	Todos los términos comparten un factor	ab+ac = a(b+c)
Diferencia de cuadrados	a²−b²	(a+b)(a−b)
Cuadrado perfecto	a²±2ab+b²	(a±b)²
Trinomio (a=1)	x²+bx+c	(x+r)(x+s) donde r·s=c, r+s=b
Trinomio (a≠1)	ax²+bx+c	Método AC o fórmula general

Método 1 — Factor Común: 8 Ejercicios Resueltos

6x + 9El MCD de 6 y 9 es 3. Factoriza: 3(2x+3). Verifica: 3·2x+3·3=6x+9 ✓

4x² − 8xMCD = 4x. Factoriza: 4x(x−2). Verifica: 4x·x−4x·2=4x²−8x ✓

15x³ + 10x² − 5xMCD=5x. 5x(3x²+2x−1).

12a²b − 8ab²MCD=4ab. 4ab(3a−2b).

x(y+3) + 2(y+3)Factor común = (y+3). (y+3)(x+2).

3x² + 6x + 9MCD=3. 3(x²+2x+3).

20m⁴ − 15m³ + 5m²MCD=5m². 5m²(4m²−3m+1).

a(x−1) − b(x−1)Factor común = (x−1). (x−1)(a−b).

Método 2 — Diferencia de Cuadrados: 8 Ejercicios Resueltos

Fórmula: a²−b² = (a+b)(a−b). SOLO funciona con la diferencia (resta), nunca con la suma.

x² − 25a=x, b=5. (x+5)(x−5). Verifica: x²−5x+5x−25=x²−25 ✓

4x² − 9a=2x, b=3. (2x+3)(2x−3).

16a² − 49b²a=4a, b=7b. (4a+7b)(4a−7b).

x⁴ − 1a=x², b=1. (x²+1)(x²−1). Y x²−1=(x+1)(x−1). Entonces: (x²+1)(x+1)(x−1).

100 − 9m²a=10, b=3m. (10+3m)(10−3m).

Método 3 — Trinomio Cuadrado Perfecto: 6 Ejercicios

Si el trinomio es a²+2ab+b² = (a+b)² o a²−2ab+b² = (a−b)². Para identificarlo: verifica que el primero y último término sean cuadrados perfectos, y el término central sea el doble del producto de sus raíces.

x² + 6x + 9√x²=x, √9=3. ¿Término central = 2·x·3=6x? Sí. (x+3)².

x² − 10x + 25√x²=x, √25=5. Término central = 2·x·5=10x ✓ (con signo −). (x−5)².

4x² + 12x + 9a=2x, b=3. 2ab=2·2x·3=12x ✓. (2x+3)².

9a² − 24ab + 16b²a=3a, b=4b. 2ab=24ab ✓. (3a−4b)².

Método 4 — Factorizar Trinomios x² + bx + c

Busca dos números r y s tal que r+s=b y r·s=c. Entonces x²+bx+c = (x+r)(x+s).

x² + 7x + 10r+s=7, r·s=10. Candidatos: (2,5): 2+5=7 ✓. (x+2)(x+5).

x² − 8x + 12r+s=−8, r·s=12. Candidatos: (−2,−6): −2+(−6)=−8 ✓. (x−2)(x−6).

x² + 2x − 15r+s=2, r·s=−15. Candidatos: (5,−3): 5+(−3)=2, 5·(−3)=−15 ✓. (x+5)(x−3).

x² − x − 20r+s=−1, r·s=−20. Candidatos: (4,−5): 4+(−5)=−1 ✓. (x+4)(x−5).

x² + 3x − 28Factores de −28: (7,−4): 7+(−4)=3 ✓. (x+7)(x−4).

Errores Más Comunes

❌ Intentar usar diferencia de cuadrados con una suma

x²+9 NO factoriza como (x+3)(x−3). La suma de cuadrados NO factoriza sobre los reales. Solo la diferencia: x²−9=(x+3)(x−3).

❌ No sacar el factor común primero

Antes de aplicar cualquier otro método, busca siempre el factor común. 2x²+4x+2 → primero saca 2: 2(x²+2x+1) = 2(x+1)².

✅ Verifica multiplicando

Siempre verifica tu factorización multiplicando los factores. Si no obtienes la expresión original, hay un error.

Preguntas Frecuentes (FAQ)

¿Toda expresión se puede factorizar?

No. Hay polinomios "irreducibles" que no factorizan sobre los números racionales. Por ejemplo, x²+1 no factoriza sobre los reales (aunque sí sobre los complejos).

¿Para qué sirve factorizar en la vida real?

En computación para simplificar expresiones, en ingeniería para analizar estructuras, en economía para encontrar puntos de equilibrio, y en criptografía (factorizar números primos grandes es la base de la seguridad RSA).

¿Cuál método es más fácil para empezar?

Siempre empieza buscando factor común — es el más fácil y muchas veces simplifica el problema. Luego identifica si es diferencia de cuadrados o cuadrado perfecto antes de intentar el método general.