Ejercicios de Trigonometría Resueltos — 15 Ejemplos de Sen, Cos y Tan Paso a Paso

⚡ RESPUESTA RÁPIDA

SOH-CAH-TOA: Sen=Opuesto/Hipotenusa · Cos=Adyacente/Hipotenusa · Tan=Opuesto/Adyacente. Ángulos especiales: sen(30°)=0.5, sen(45°)=√2/2≈0.707, sen(60°)=√3/2≈0.866.

15 Ejercicios Resueltos

Nivel 1 — Valores Exactos

sen(30°)

1/2 = 0.5

cos(60°)

1/2 = 0.5

tan(45°)

cos(0°)

sen(90°)

tan(60°)

√3 ≈ 1.732

Nivel 2 — Triángulos Rectángulos

Cateto opuesto=6, hipotenusa=10. ¿sen(θ), cos(θ), tan(θ)?Cateto adyacente=√(100−36)=8. sen=6/10=0.6, cos=8/10=0.8, tan=6/8=0.75.

Hipotenusa=13, cateto adyacente=5. ¿Cateto opuesto?op=√(169−25)=√144=12. tan(θ)=12/5=2.4.

Ángulo 30°, hipotenusa=20m. ¿Cateto opuesto?op=20×sen(30°)=20×0.5=10m.

Ángulo 45°, cateto opuesto=7cm. ¿Hipotenusa?h=7/sen(45°)=7/(√2/2)=7√2≈9.9cm.

Nivel 3 — Problemas Reales

Árbol: ángulo elevación 35°, distancia=15m. ¿Altura?h=15×tan(35°)=15×0.700=10.5m.

Escalera 8m, ángulo 65° con suelo. ¿Altura en pared?h=8×sen(65°)=8×0.906=7.25m. Distancia base=8×cos(65°)=3.38m.

Avión sube 2000m con ángulo 8°. ¿Distancia horizontal?d=2000/tan(8°)=2000/0.1405=14,235m≈14.2km.

Talud inclinado 20° con base 50m. ¿Longitud del talud?L=50/cos(20°)=50/0.9397=53.2m.

Identidad Pitagórica — La Más Importante

sen²(θ)+cos²(θ)=1 para cualquier ángulo. Si sabes que sen(θ)=0.6, entonces cos²(θ)=1−0.36=0.64, cos(θ)=0.8. Esta identidad permite calcular una razón trigonométrica conociendo otra.

Las 3 Razones Trigonométricas Fundamentales

Razón	Fórmula	Mnemotecnia
Seno (sin)	opuesto/hipotenusa	SOH
Coseno (cos)	adyacente/hipotenusa	CAH
Tangente (tan)	opuesto/adyacente	TOA

15 Ejercicios Resueltos

Triángulo recto: opuesto=3, hipotenusa=5. ¿sin(θ)?

sin(θ)=3/5=0.6. θ=arcsin(0.6)≈36.87°.

Ángulo=30°, hipotenusa=10. ¿Lado opuesto?

sin(30°)=0.5. opuesto=0.5×10=5.

Ángulo=45°, adyacente=7. ¿Hipotenusa?

cos(45°)=0.707. 0.707=7/h. h=7/0.707=9.9.

sin(30°)

0.5

cos(60°)

0.5

tan(45°)

sin(90°)

cos(0°)

tan(30°)

0.577

sin(60°)

0.866

cos(45°)

0.707

Preguntas Frecuentes

¿Qué significa SOH-CAH-TOA?

Es un truco para recordar las razones: Seno=Opuesto/Hipotenusa, Coseno=Adyacente/Hipotenusa, Tangente=Opuesto/Adyacente.

¿Para qué sirve la trigonometría en la vida real?

Arquitectura (calcular alturas), navegación (GPS), ingeniería (puentes), astronomía y videojuegos (ángulos de movimiento).

¿Por Qué se Llama Trigonometría?

Trigonometría viene del griego: "trigono" (triángulo) + "metria" (medida). Es literalmente la ciencia de medir triángulos. Surgió hace más de 2,000 años para resolver problemas de astronomía y arquitectura. Hoy se usa en GPS, videojuegos, ingeniería y arquitectura.

Las Razones Trigonométricas — Explicación Desde Cero

En un triángulo rectángulo, para un ángulo θ (theta) cualquiera, los lados tienen nombres relativos a ese ángulo:

OPUESTO

El lado que está frente al ángulo θ. No toca al ángulo.

ADYACENTE

El lado que forma el ángulo θ (junto con la hipotenusa).

HIPOTENUSA

El lado más largo. Siempre frente al ángulo recto (90°).

SOH-CAH-TOA — El Truco para Recordar Todo

SOH: Seno = Opuesto / Hipotenusa

CAH: Coseno = Adyacente / Hipotenusa

TOA: Tangente = Opuesto / Adyacente

15 Ejercicios Resueltos con Explicación Completa

Triángulo con ángulo θ=30°, hipotenusa=10cm. ¿Cuánto mide el lado opuesto? Usamos SOH: sin(θ)=opuesto/hipotenusa. sin(30°)=0.5. opuesto=0.5×10=5cm. Recuerda: sin(30°)=0.5 es uno de los valores que debes memorizar.

Triángulo con ángulo θ=45°, adyacente=7cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Usamos CAH: cos(θ)=adyacente/hipotenusa. cos(45°)=0.707. hipotenusa=7÷0.707=9.9cm.

Triángulo con opuesto=3cm, hipotenusa=5cm. ¿Cuánto mide el ángulo θ? sin(θ)=3/5=0.6. θ=arcsin(0.6)=36.87°. La función arcsin (o sin⁻¹) te da el ángulo cuando conoces la razón.

Edificio que proyecta una sombra de 15m. Ángulo del sol=60°. ¿Cuánto mide el edificio? tan(60°)=opuesto/adyacente=altura/sombra. tan(60°)=1.732. altura=1.732×15=25.98m.

Valores Importantes — Memorizar Esta Tabla

Ángulo	Seno	Coseno	Tangente
0°	0	1	0
30°	0.5	0.866	0.577
45°	0.707	0.707	1
60°	0.866	0.5	1.732
90°	1	0	∞

sin(30°)

0.5

cos(60°)

0.5

tan(45°)

sin(90°)

cos(0°)

tan(30°)

0.577

sin(60°)

0.866

cos(45°)

0.707

opuesto=4,hip=5. sin

0.8

adyacente=3,hip=5. cos

0.6

Preguntas Frecuentes

¿Cuándo uso seno, coseno o tangente?

Depende de qué datos tienes: si tienes opuesto e hipotenusa → seno. Si tienes adyacente e hipotenusa → coseno. Si tienes opuesto y adyacente → tangente.

¿Para qué sirve la trigonometría en la vida real?

Arquitectura (calcular alturas de edificios), navegación (GPS funciona con trigonometría), ingeniería (diseño de puentes), videojuegos (cálculo de ángulos y movimiento).

¿Qué es arcsin, arccos, arctan?

Son las funciones inversas. Si sin(θ)=0.5 entonces θ=arcsin(0.5)=30°. Las usas cuando conoces la razón y quieres saber el ángulo.

¿La trigonometría funciona en triángulos que no son rectángulos?

Sí, pero usas otras fórmulas: Ley de senos y Ley de cosenos. La trigonometría básica del SOH-CAH-TOA solo aplica a triángulos rectángulos.